برای جابجایی فاز در نواحی نزدیک انرژی رابطه زیر را داریم

(۲-۱۴)
که در آن یک مقدار ثابت است و در ازرابطه زیر بدست می آید
(۲-۱۵) .
یک رابطه بسیار کاربردی بین جابجایی فاز در انرژی صفر و تعداد حالات مقید بصورت
(۲-۱۶)
می باشد که درآن تعداد حالت­های مقید برای معادله شرودینگر کاهش یافته شعاعی به ازای رابطه می­باشد[۱۵]
(۲-۱۷)

۲-۲ روش تابع گرین

در بررسی چگالی تراز تک ذره­ای روش تابع گرین نیز یکی از روش­های پرکاربرد می­باشد. در این روش برای بررسی سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاع بطوریکه در آن پیوستگی مجزا شده است، در نظر گرفته می­ شود. بنابراین تابع گرین تک­ذره­ای که به هامیلتونی وابسته است توسط رابطه زیر معرفی می­ شود
(۲-۱۸)
که تابع گرین با نمایشی بصورت زیر معرفی می­گردد
(۲-۱۹)
در این رابطه ها حالت­های تک ذره­ای مقید متناظر با ویژه انرژی­های می­باشند. همچنین تعریف مشابهی برای بصورت وابسته به هامیلتونی ارائه می­ شود. با در نظر گرفتن بخش موهومی و و جداکردن اجزا زاویه­ای آنها، چگالی تراز تک ذره­ای باتوجه به معادله (۲-۴) از رابطه زیر بدست می ­آید
(۲-۲۰)
توابع گرین و معرفی شده در معادله بالا بصورت زیر تعریف می­شوند
(۲-۲۱)
در این رابطه و به ترتیب دارای مقادیر کوچکتر و بزرگتر از و می­باشند. توابع و به ترتیب جوابهای منظم و نامنظم برای معادله شعاعی (۲-۱۷) می­باشند که به هامیلتونی وابسته­اند و مساوی است.
تابع گرین تک ذره­ای برای ذرات آزاد بدون اسپین در حالت خاص پتانسیل بصورت رابطه زیر بدست می ­آید
(۲-۲۲)
که در آن است.
در نتیجه با توجه به معادلات (۲-۲۲) و (۲-۲۴) چگالی تراز تک ذره­ای برای ذره آزاد بصورت زیر تعریف می­ شود[۱۶]
(۲-۲۳) .

۲-۳ روش هموار

نتایج حاصل از تصحیح لایه­ای روش استروتینسکای^[۱۲]، در مدل لایه­ای که به اصطلاح روش میکروسکوپیک-ماکروسکوپیک نامیده می­ شود، موجب شد که اصلاحاتی را در پیش ­بینی جرم هسته­ها و محاسبات مربوط به هسته های شکافت پذیر بتوان اعمال کرد. این مدل شامل ترکیبی از مدل­های قطره مایع و تصحیح لایه­ای است، در مدل قطره مایع انرژی به آرامی با تعداد نوکلئون­ها و تغییر می­ کند در صورتیکه در تصحیح لایه­ای این تغییرات به تندی صورت می­گیرد.
در این روش به صورت یک تقریب چند جمله­ای از درجه برای چگالی تراز واقعی درنظر گرفته شده است.
این تقریب در حوالی نقطه (که تراز فرمی واقعی را بیان می­ کند) در یک بازه­ی موثر با بهره گرفتن از تابع گوسی بکار گرفته می­ شود. به همین دلیل چند جمله­ای ذکر شده علاوه بر به و نیز مرتبط است. بهترین تقریب برای این مدل چند جمله­ای­های خطی هرمیت می­باشند که به صورت در محاسبات وارد می­ شود.
در نتیجه برای چگالی تراز تک ذره­ای متوسط در این روش رابطه زیر تعریف می­ شود
(۲-۲۴)
بنابراین بایستی بر حسب چند جمله ای طوری معرفی شود که انتگرال زیر را کمینه سازد
(۲-۲۵)
در مرجع [۲۰] این کمینه سازی از طریق برازش مجذور مربعی انجام شده است. این روش را که در فصل بعدی به تفصیل توصیف خواهیم نمود، براساس کمینه سازی روابط بالا نسبت به با بهره گرفتن از خاصیت اورتوگنالیتی چند جمله­ای­های هرمیت انجام می­گیرد.
(۲-۲۶)
در معادله (۲-۲۶) به صورت ثابت فرض می­ شود و چند جمله­ای تنها در نواحی مقدار چگالی تراز واقعی را ارضاء می­ کند. بنابراین برای رفع این مشکل لازم است به صورت یک متغیر درنظر گرفته شود.
از آنجا که ثابت در معادله (۲-۲۶) به وابسته است و کمییت تنها یک چند جمله­ای از نیست، واضح است که چگالی تراز در روش استروتینسکای یک چند جمله­ای واقعی نیست. در نتیجه با اعمال اصلاحات و جایگزینی با روابط زیر برای این روش بدست می ­آید
(۲-۲۷)
که در آن چند جمله­ای ترم تصحیح انحنا می­باشد و برای چگالی تراز تک ذره­ای در روش هموار رابطه زیر معرفی شده است
(۲-۲۸)
واضح است که وقتی به بینهایت افزایش یابد و یا به سمت صفر میل کند، نیز به سمت می­رود. این روش اگر چه خیلی مناسب است ولی ضعف­هایی هم دارد از جمله اینکه به نتایج حاصل از دو پارامتر پهنا و مرتبه وابسته است و با پیوستگی در پتانسیل­های واقعی مشکل دارد[۱۷].

۲-۴ روش نیمه کلاسیکی

یک سیستم فرمیونی بدون برهمکنش در نظر بگیرید که در دمای صفر قرار دارد بطوریکه فرمیون­ها در یک پتانسیل تک جسمی معین درحال حرکت باشند. برای توصیف بخش هموار انرژی از تابع پارش به صورت زیر استفاده می­ شود
(۲-۲۹)
ساده­ترین راه برای اعمال اثرات لایه­ای جایگزین کردن تابع پارش کلاسیکی به جای تابع پارش معرفی شده دررابطه (۲-۲۹) می­باشد که در آن هامیلتونی موجود در رابطه نیز با هامیلتونی کلاسیکی جایگزین می­گردد. این جابجایی به رابطه نیمه کلاسیکی منجر می­ شود که به رابطه توماس- فرمی نیز معروف است.
در روش نیمه کلاسیکی از یک روش بسطی برای تابع پارش باتوجه به نمای ثابت پلانک استفاده می­ شود که درآن جمله اول بسط به تابع پارش کلاسیکی مربوط می­ شود، جزئیات این روش را در مراجع [۱۸,۲۲] می­توان یافت. در این روش تا نمای چهارم در بسط استفاده می­ شود. در نهایت با بهره گرفتن از بسط نیمه کلاسیکی برای تابع پارش رابطه زیر بدست می ­آید
(۲-۳۰)
_.
چگالی تراز تک ذره­ای نیمه کلاسیکی بطور مستقیم از تابع پارش نیمه کلاسیکی با بهره گرفتن از لاپلاس معکوس محاسبه می­ شود
(۲-۳۱)
در نهایت رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذره­ای در روش نیمه کلاسیکی حاصل می شود[۱۸]
(۲-۳۲)
که در آن تابع پله­ای می­باشد. برای توجیه خواص هسته­ای از طریق مدل لایه­ای ابتدا باید یک پتانسیل هسته­ای تعریف کنیم که با این مدل مطابقت داشته باشد و بتواند ترازهای انرژی و لایه ­ها را بطور دقیق مشخص کند. یکی از پتانسیل­های هسته­ای ابتدایی و متناسب با مدل لایه­ای پتانسیل چاه مربعی متناهی است که بصورت زیر تعریف می­ شود[۲۳]